Abstrakt Ky punim bën fjalë për ndryshimin e metodave tradicionale të mësimdhënjes dhe implementimin e metodave të reja (aktive), metoda të cila kanë filluat të bëhen pjesë e rëndësishme e bashkësisë së metodave bashkëkohore të mësimdhënies. Një individ përfiton nga një proces i caktuar mësimor, shkencor etj. vetëm kur ai bëhet pjesë e këtij procesi. Vetëm kështu ai mund të fitojë dije të qëndrueshme si dhe pavarësi të menduari e të vepruari, gjë që nuk ndodh shpesh me studentët tanë. Metodat aktive i kemi përdorur këtu për shpjegimin e konceptit të limitit, i cili qëndron në themel të njërit prej njehsimeve më të rëndësishme matematike, siç është "Njehsimit Diferencial e Integral".
Roli vendimtar i matematikës në zhvillimin dhe thellimin e dijeve për botën reale është pranuar që në lashtësi nga filozofët, hulumtuesit dhe zbatuesit e teorisë . Ndërsa rreth viteve 300 p.e.s., mbi hyrjen e Akademisë së themeluar nga filozofi i madh Greqisë së Lashtë, Platoni, gjendej mbishkrimi i çuditshëm: “Nuk u lejohet hyrja atyre që nuk kanë njohuri nga gjeometria”, disa shekuj më vonë, pikërisht në Mesjetë, piktori i famshëm Leonardo da Vinçi porosiste: "O studiues, lexoni matematikën e mos ndërtoni pa themele." Në kohët e sotme roli i matematikës jo vetëm që nuk është zvogëluar, përkundrazi është rritur dhe, madje, mund të thuhet që pothuajse nuk ka fushë të kërkimit e të zbatimit ku nuk përdoret matematika. Mirëpo nuk mund të thuhet e njëjta gjë për interesin e gjeneratave për matematikën. Madje ky interes është shumë larg kërkesave që parashtron zhvillimi teknik e teknologjik i kohës. Kësaj prirje i duhet ndërruar kahja në të kundërt dhe kjo mund gjë mund arrihet kryesisht me anë të reformimit të thellë të metodave dhe teknikave të mësimdhënies. Problemet që paraqet si procesi i mësimdhënies në përgjithësi, ashtu edhe ai i matematikës në veçanti, janë sa të hershme aq edhe aktuale. Në këtë kontekst, është kuptimplote thënia e një filozofi: "Të nxënit i ka rrënjët e hidhura, por ama frutat e tij janë të ëmbla." Prandaj përpjekjet e mësimdhënësve duhet të synojnë që t'i zbusin sa më shumë që është e mundur këto probleme. Qëllimi kryesor i përpjekjeve në këtë drejtim, duhet të jetë zhvillimi i mëtejshëm i kulturës së përgjithshme të mësimdhënies në lëndën e matematikës. Gjithashtu, jemi të ndërgjegjshëm për dobinë e padiskutueshme të revolucionit telematik, i cili shprehet në zhvillimin e vrullshëm të televizionit dhe informatikës, por njëherësh jemi edhe dëshmitarë të përdorimit të paktë produkteve të tij në procesin e mësimdhënies. Në këtë punim do të përdorim metodat të reja (aktive) të mësimdhënies në lidhje me konceptin e limitit. Studentët, tradicionalisht, hasin vështirësi gjatë të kuptuarit të konceptit të limitit të funksionit. Këto vështirësi, përveç tjerash, lindin edhe për arsye të mungesës së paraqitjes vizuale të problemeve dhe koncepteve matematikore.
§ 1. Paraqitja numerike e limitit Përkufizimi rigoroz i limitit është vështirë të kuptohet në qoftë se më parë nuk marrim disa shembuj numerikë. Prandaj, që tu mundësojmë studentëve një qasje sa më të mirë dhe ti bëjmë ata pjesëmarrës aktivë gjatë shpjegimit të konceptit të limitit, do të bëjmë një kalim të butë dhe shkallë- shkallë nga konceptet themelore në përkufizimin rigoroz të limitit.
Çfarë është limiti? Për të kuptuar se çfarë është limiti, po shqyrtojmë fillimisht dy shembuj të thjeshtë.
Shembull 1. Supozojmë se duam të llogarisim syprinën e katrorit. E dimë se ajo është e barabartë me katrorin e brinjës së tij. Për shembull, nëse kemi katrorin me brinjë 5cm, atëherë syprina do të jetë 25cm². Le ta ndryshojmë pak problemin, duke e marrë brinjën e katrorit përafërsisht 5cm. Lind pyetja e natyrshme: A mund të thuhet se syprina e katrorit është përafërsisht 25cm²? Po arsyetojmë në mënyrë praktike, duke marrë disa shembuj konkretë si në tabelën e mëposhtme.
brinja | syprina | 5.1 5.01 5.001 5.0001 5.00001 | 26.01 25.1001 25.010001 25.00100001 25.0001 |
Nga tabela shihet qartë se në qoftë se brinja e katrorit i afrohet numrit 5, atëherë syprina e tij i afrohet numrit 25. Në këtë shembull, nxjerrim përfundimin praktik se limiti i syprinës së katrorit është 25, kur brinja e tij i afrohet numrit 5. Le të shënojmë me x gjatësinë e brinjës dhe me S(x) = x² syprinën, atëherë do të themi se "limiti (caku) i S(x) është 25 , kur x tenton (afrohet) te numri 5".
Shembull 1. Shqyrtojmë funksionin g me formulë g(x) = 9x² + 3x + 2 . Shohim se g(7)= 464 dhe pyesim: " A tenton g(x) te numri(vlera) g(7)= 464, nëse x tenton te numri 7?" Për t'iu përgjigjur praktikisht kësaj pyetjeje, ndërtojmë përsëri një tabelë si ajo që vijon. x | g(x) | 7.1 7.01 7.001 7.0001 7.00001 7.000001 | 476.99 465.2909 464.129009 464.01290009 464.0012900009 464.000129000009 |
Nga tabela, vëmë re se sa më shumë që x i afrohet 7, aq më shumë g(x) i afrohet 464. Këtë fakt e shprehim kështu: "limiti (caku) i g(x) është 464 , kur x tenton (afrohet) te numri 7
Në secilin nga këto shembuj,duke folur në përgjithësi, kemi të bëjmë me një funksion f dhe dy numra a dhe L: -Në shembullin e parë: f(x) = S(x) = x²; a = 5 dhe L = 25 -Në shembullin e dytë: f(x) = g(x) 0 9x² + 3x + 2; a = 7 dhe L = 464 Në të dy shembujt e mësipërm, vërmë re se kur x tenton në a, atëherë f(x) tenton në L. Deri këtu, duket sikur puna me limitin nuk paraqet ndonjë problem. Megjithatë, po shohim edhe një shembull tjetër. Shembull 3. Marrim në shqyrtim funksionin:
dhe të shohim se çka ndodh me vlerat f(x), kur x tenton në 1
Në ndryshim nga dy shembujt e mëparshëm, funksioni këtu nuk është i përcaktuar për x = 1. Për t'iu përgjigjur pyetjes së shtruar, ndërtojmë tabelën e mëposhtme. x > 1 | f(x) | x > 1 | f(x) | 0.5
0.9
0.99
0.999
0.9999
| 0.666667
0.526316
0.502513
0.500250
0.500025
| 1.5
1.1
1.01
1.001
1.0001
| 0.400000
0.476190
0.497512
0.499750
0.499975
|
Nga tabela, na krijohet praktikisht bindja se limiti i f(x) kur x tenton në 1, nga ana e djathtë dhe nga ana e majtë, është i barabartë me 0.5. Për këtë fakt bindemi edhe gjeometrikisht, duke ndërtuar grafinë e funksionit f (shih fig. 1 ).
Le të bëjmë një ndryshim në formulën e funksionit f, duke e marrë në pikën x = 1 vlerën e funksionit të barabartë me 2. Teorikisht e kemi ndryshuar funksionin (sepse kemi ndryshuar bashkësinë e përcaktimit të tij) pra, kemi formuar një funksion të ri, të cilin po e shënojmë me shkronjën g.
Kur x tenton në 1, edhe funksioni i ri g ka limit të njëjtë me funksionin f, gjë për të cilën bindemi edhe nga figura 2.
Fig.1. Fig.2.
Nga ky shembull, del një përfundim shumë i rëndësishëm: Vlera e funksionit në një pikë, si në rastin kur ajo ekziston, ashtu edhe në rastin kur ajo nuk ekziston, nuk luan rol në vlerën e limitit të funksionit në atë pikë. Në rastin e funksionit f, vlera f(1) nuk ekziston, ndërsa në rastin e funksionit g, kemi g(1) = 2. Megjithatë, të këto dy funksione , që ndryshojnë vetëm në pikën x = 1, kanë limit të njëjtë kur x i afrohet numrit 1, më konkretisht, si limit shërben numri 0.5. Me sa duket, ishte kjo arsyeja që gjatë hetimit të limitit të secilit prej këtyre funksioneve, shqyrtuam vetëm vlera të x -it, që ishin të ndryshme nga 1, d.m.th. shqyrtuam x ≠ 1. Duke folur në përgjithësi, ky fakt na jep të drejtën që kur duam të hetojmë për limitin e një funksioni f në një pikë x = a, mjafton të shqyrtojmë vetëm vlera të x - it që i afrohen a - së, por që janë të ndryshme nga a (d.m.th. x ≠ a). Një gjë tjetër që duhet theksuar, është fakti se në shembujt e mësipërm, studentëve mund tu krijohet përshtypja e gabuar se çdo funksion ka limit dhe se vetëm mbetet të gjendet ai. Prandaj duhet te sillet edhe një shembull funksioni, i cili të mos ketë limit në një pikë të caktuar.
Shembull 4.
Të shqyrtohet limiti i funksionit f me formulë , kur x tenton në 5. x | f(x) |
| x | f(x) | 6
5.1
5.01
5.001
5.0001
5.00001 | 3
3.0000000000002878
2.9999999999501417
3.0000000037872496
2.9999998758824593
3.0000265214801534
|
| 4
4.9
4.99
4.999
4.9999
4.99999
| -3
-2.999999999999222
-3.000000000056723
-2.999999998458179
-3.000026521480153
-2.997206021408321
|
Vërejmë se kemi dy tabela. Njëra përmban vlerat e x -it, të cilat tentojnë në 5 nga ana e djathtë, ndërsa tabela tjetër vlerat e x që tentojnë në 5 nga ana e majtë. Arsyeja pse kemi marrë dy tabela është se ky është një shembull kur fitohen rezultate të ndryshme në qoftë se x tenton në a nga ana e majtë ose e djathtë. Në këtë rast limiti nuk ekziston. Në shembujt e shqyrtuar më lart, ishin kryesisht tabelat e vlerave të funksionit ato që na sugjeruam të shkruanim vlerën e limitit të funksionit, kuptohet, kur ai ekziston. Në këto tabela, tregohet, siç e përmendëm edhe më lart, se kur x tenton në a në mënyrën e treguar në tabelë, atëherë f(x) tenton në L. Ky fakt u jep karakter intuitiv arsyetimeve për njehsimin e limitit. Vërtet, nuk mund të thuhet me saktësi se çfarë ndodh me vlerat f(x), për vlerat x -it që tentojnë në a, por që nuk ndodhen në tabelën e shqyrtuar. Kjo mënyrë, po qe se përdoret sa herë na duhet të njehsojmë limitin e funksionit, mund të na çojë në përfundim të gabuar. Prandaj, pas analizës që u bëmë shembujve të zgjedhur, ndihet nevoja për të kaluar në përkufizimin rigoroz të kuptimit të limitit. Fakti që vlerat e funksionit f i afrohen numrit L, sido që vlerat e x -it t'i afrohen numrit a (duke qëndruar të ndryshme nga a) , shënohet simbolikisht në njërën nga mënyrat ose f(x) → L kur x → a
§ 2. Përkufizimi rigoroz i limitit
Para se të arrijmë te përkufizimi rigoroz i limitit, po shqyrtojmë funksionin f me formulë
Në mënyrë intuitive, është e qartë se kur x i afrohet numrit 3, vlerat f(x) i afrohen numrit 5, kështu që .
Për të fituar informacione më të detajuara për atë se si ndryshon f(x) kur x i afrohet numrit 3 , studentëve duhet t'u bëjmë pyetjen: Sa afër 3 duhet të jetë x, në mënyrë që f(x) të jetë larg nga numri 5 për më pak se 0.1? Largesa e pikës x nga pika 3, siç dihet, është │x - 3 │ , ndërsa largesa e f(x) nga 5 është │f(x) - 5 │, kështu që na mbetët të zgjidhim këtë problem: Të gjejmë numrin pozitiv σ , të tillë që │f(x) - 5 │ < 0.1 nëse │x -3 │ < σ ( x ≠ 3) (σ = ?) Në qoftë se │x - 3 │ > 0, atëherë x ≠ 3, kështu që formulimi ekuivalent i problemës tonë është : Të gjejmë numrin pozitiv σ të tillë që │f(x) - 5 │ < 0.1 nëse 0 < │x - 3 │ < σ (σ = ?) Vërejmë se në qoftë se , atëherë │f(x) - 5│ = │(2x –1)-5 │= │2x - 6 │= 2 │x – 3│ < 0.1 që do të thotë se: │f(x) - 5│ < 0.1 në qoftë se .
Pra, vlera e kërkuar në problemë për numrin σ është σ = 0.05.
Në qoftë se në problemën tonë, në vend të numrit 0.1, marrim 0.01, atëherë duke vepruar në të njëjtën mënyrë si më parë, do të gjejmë se f(x) do të jetë larg nga 5 për më pak se 0.01, nëse x do të jetë larg 3 për më pak se :
│f(x) - 5│ < 0.01 nëse Gjetëm kështu se:
│f(x) - 5│ < 0.01 nëse 0 <│x-3│ < 0.005. Mirëpo, dy numrat (0.1 dhe 0.01) nuk mjaftojnë për të nxjerrë një përfundim për limitin e funksionit f kur x → 3. Kështu që për gjykuar për këtë limit, në vend të një numri konkret , të tillë si 0.1 dhe 0.01, do të shqyrtojmë një numër pozitiv të çfarëdoshëm, të cilin do ta shënojmë me shkronjën greke ε. Kështu, detyra jonë e re është : Të gjejmë numrin pozitiv σ, të tillë që │f(x) - 5│ < ε nëse (1)
Kjo trajtë të shprehuri, paraqet në mënyrë precize (korrekte) faktin që f(x) gjendet afër numrit 5 (f (x) → 5), kur x -i afrohet numrit 3 (x → 3),sepse (1) tregon se vlerat e f(x) mund të sillën në një largesë të çfarëdoshme ε nga numri 5, duke sjellë vlerat e x-it në largesën nga numri 3.
Vërejmë se (1) mund të shkruhet si vijon: 3 – σ < x < 3 + σ (x ≠ 3) => 5 - ε < f(x) < 5+ ε dhe ky fakt është paraqitur në figurën 3.
Duke marrë trajtën (1) si model, do të japim përkufizimin rigoroz të limitit. Le të jetë x a f(x) një funksion i përcaktuar në një zonë rrethuese të pikës a, me përjashtim ndoshta të vetë kësaj pike. PERKUFIZIMI 1. Do të themi se në qoftë se për çdo numër ε > 0 (sa do i vogël që të jetë) mund të gjejmë numrin σ > 0 i tillë që :
σ 0 < │x – a │< σ => │f(x) – L│ < ε Në mënyrë që studentët të familjarizohen sa më shumë me përkufizimin e limitit, është mirë që atyre t'u jepet ky përkufizim edhe në trajta të tjera, analitike ose gjeometrike.
PËRKUFIZIMI 1'. Barazimi do të thotë se për çdo ε > 0 ( sa do i vogël që është), mund të gjejmë numrin σ > 0 të tillë që kur x të ndodhet në intervalin (a - σ, a + σ) (x ≠ a) , vlerat f(x) të ndodhen në intervalin (L – ε, L + ε).
PERKUFIZIMI 1''. Barazimi do të thotë që për numrin e dhënë ε > 0 (sa do i vogël që të jetë), mund të gjejmë numrin σ > 0, të tillë që për (a - σ, a + σ) , grafi i funksionit f të ndodhet në drejtkëndëshin me qendër në pikën (a; L) dhe të kufizuar nga çiftet e drejtëzave x = a ± σ dhe y = L ± ε (shih figurat).
Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Në përfundim, theksojmë se, megjithëse trajta gjeometrike e limitit të funksionit paraqet një pamje të ngrirë të faktit që , vetëm për një çift nunrash (ε ; σ), ajo është e dobishme për ilustrimin vizual të konceptit të limitit.
PËRFUNDIM Metodat e reja të mësimdhënies mund të tregohet si ndihmesë e dobishme në mësimdhënien dhe mësimnxënjen e matematikës, për të pasur një pasqyrë sa më të qartë për konceptet në fjalë. Mendojmë se metodat në fjalë nuk do të marrin shumë kohë nga ora e mësimit, kuptohet nëse pjesa e paraqitjes numerike do të bëhet me anë të prezantimit, kështu që llogaritjet i përgatit mësimdhënësi më herët dhe u prezantohet studentëve. Në fund, do të ishte mirë që argumentet gjeometrike të lartpërmendura të përshtaten me animacione kompjuterike, të cilat do të kishin dhënë efekte vizuale dhe përshtypje më të mira te studentët.
LITERATURA [1] Vijayalakshmi, Ch. (1994). ‘Implications of Brain-research for Teachers & Teacher Educators’, Edu-Vision, 18-20. [2] Bell, E.T.(1937). Men of Mathematics (Touchstone Edition, !986). New York: Simon & Schuster. ISBN 0-671-62818-6 PBK [3] Gabriel B. Costa and John A. Picciuto, 2004, “Do I really need to know mathematics?” [4] Paul Dawkins , 2006. “How to Study Mathematics” pp.1-10. [5] Stephanie Bridoux, 2002. “How to prepare students for a successful first year at university” Universite de Mons-Hainaut , Mons, Belgique. [6] Sean Mauch October 12, 2002. Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Sean Mauch October 12, 2002 [7] Anthony Croft, Robert Davison, 2004, “Mathematics for Engineers-A modern Interactive Approach” Loughborough University
Artikulli është shkruar dhe dërguar për publikim tek Rruzull.net nga: [1] Qefsere Gjonbalaj, asistente në Fakultetin e Inxhinerisë Elektrike dhe Kompjuterike në Universitetin e Prishtinës [2] Luigj Gjoka, ligjerues Universitetin Politeknik të Tiranës, Departamenti Matematikë dhe Informatikë.
|